loi de poisson : exercice avec correction
Loi de poisson
La loi de Poisson est une loi de probabilité qui décrit le nombre de occurrences d’un événement au cours d’une période donnée. Elle est souvent utilisée pour décrire le nombre de occurrences d’un événement aléatoire qui est indépendant et réparti de manière uniforme dans le temps ou l’espace. La loi de Poisson est définie par un seul paramètre, le nombre moyen d’occurrences d’un événement (λ), qui est utilisé pour calculer la probabilité qu’un certain nombre d’occurrences se produisent.
la formule de la loi de Poisson
La formule de la loi de Poisson est : P(k; λ) = (e^{-λ} * λ^k) / k!
Où:
P(k; λ) est la probabilité qu’il y ait k occurrences d’un événement aléatoire au cours d’une période donnée
λ est le nombre moyen d’occurrences d’un événement au cours de la période
e est la constante mathématique de base de l’exponentielle (environ 2.718)
k! est la factorielle de k (c’est-à-dire, k * (k-1) * (k-2) * … * 1)
Exemple : Si un client arrive à un magasin de moyenne 5 fois par heure, la probabilité qu’il y ait exactement 3 clients qui arrivent dans l’heure suivante est P(3; 5) = (e^{-5} * 5^3) / 3! = 0,140
Quand on utilise loi de Poisson ?
La loi de Poisson est utilisée pour décrire des phénomènes qui ont un nombre de occurrences d’un événement aléatoire qui est indépendant et réparti de manière uniforme dans le temps ou l’espace. Elle est souvent utilisée pour modéliser des phénomènes qui ont un nombre de occurrences d’un événement aléatoire qui est indépendant et réparti de manière uniforme dans le temps ou l’espace.
Il peut s’agir de situations telles que :
- Le nombre d’appels téléphoniques reçus par une entreprise pendant une période donnée
- Le nombre de défauts sur une ligne de production dans une usine
- Le nombre de personnes qui visitent un site Web au cours d’une période donnée
- Le nombre de mots qui sont mal orthographiés dans un document
- Le nombre de clients qui entrent dans un magasin dans une période donnée.
En général, la loi de Poisson est utilisée lorsque les événements sont rares et indépendants les uns des autres, et lorsque le nombre moyen d’occurrences d’un événement est connu.
Exercice avec correction utilisant la loi de Poisson
Voici un exemple d’exercice avec correction utilisant la loi de Poisson :
Exercice :
Un centre d’appel reçoit en moyenne 10 appels par heure. Quelle est la probabilité qu’il reçoive exactement 8 appels dans l’heure suivante ?
Correction :
Tout d’abord, nous devons trouver le paramètre λ, qui est le nombre moyen d’appels par heure. Dans ce cas, λ = 10.
Ensuite, nous utilisons la formule de la loi de Poisson pour trouver la probabilité de 8 appels : P(8; 10) = (e^{-10} * 10^8) / 8! = 0,135.
Donc, la probabilité qu’il reçoive exactement 8 appels dans l’heure suivante est de 0,135, ou 13,5%.
Il est important de noter que cet exercice suppose que les appels reçus par le centre d’appel sont indépendants les uns des autres et qu’ils suivent une distribution de Poisson.
